π nel cielo

Ieri pi greco è apparso nel cielo della Bay Area sotto forma delle sue prime 1000 cifre, quasi come stampate da una vecchia dot matrix printer.
È una installazione effimera, nata nell’ambito del 2012 ZERO1 Biennial, un festival che celebra l’arte e la tecnologia nella Silicon Valley.

L’idea è di ISHKY, un eclettico artista californiano, creatore di installazioni di vasta scala, che ha riunito intorno a sé un gruppo di artisti, programmatori e scienziati.

I numeri vengono creati a circa 3000 metri di altezza da 5 aerei sincronizzati equipaggiati con una non ben identificata “dot matrix technology”, evidentemente un sistema che permette di disegnare delle lettere emettendo sbuffi di fumo, col un sistema analogo a quello di una stampante ad aghi. Ogni cifra è alta circa 400 metri (¼ di miglio).

pi nel cielo

Syrmos

Iannis Xenakis
Syrmos for 18 strings (1959)

Orchestral composition: 6.6.0.4.2

The work is based on stochastic transformation of 8 basic textures.

  1. horizontal parallel networks (chord)
  2. ascendant parallel networks (glissandi)
  3. descendant parallel networks (glissandi)
  4. crossed parallel networks (ascendant and descendant)
  5. clouds of pizzicati
  6. atmosphere of frappes collegno with short glissandi col legno
  7. configurations of glissandi traited in regulated left surfaces
  8. geometric configurations of ascending and descending glissandi

Questo brano è basato su un precesso stocastico noto come catena di Markov. Si tratta di un sistema in cui il passaggio da uno stato a un altro dipende unicamente dalla situazione attuale ed è governato da una tabella che, dato lo stato corrente, specifica le probabilità di transizione da questo stato a un altro.

In termini più semplici, immaginate che, in questo momento, l’orchestra si trovi nello stato (e), cioè sta eseguendo una nuvola di pizzicati. La riga (e) della tabella specifica le probabilità che l’orchestra ha di passare a uno degli stati da (a) ad (h), compresa quella di rimanere nello stato (e).

Ovviamente la tabella è quadrata perché, per ogni possibile stato corrente, è presente una riga che definisce le probabilità di passaggio a tutti gli stati, compresa quella di rimanere nello stato attuale (in teoria fra gli stati possibili dovrebbe essere compreso anche il silenzio, ma, nella logica di Xenakis, di solito è invece gestito come densità di suoni).

Questo sistema organizzativo può essere applicato sia all’orchestra nel suo insieme che al singolo strumento.

Zoom!

Questo video è uno zoom di proporzioni epiche in quella zona dell’insieme di Mandelbrot chiamata The Seahorse Valley (la valle dei cavallucci marini) a causa delle codine, simili a quelle delle suddette bestiole, che si formano sulla frontiera dell’insieme.

Fibonacci in Turku

fibonacci

Incredibilmente in Turku (Finlandia) esiste una ciminiera con sopra parte della serie di Fibonacci (cliccate sull’immagine) che, di notte, è illuminata e splende nel buio come l’unica cosa visibile (o quasi).

Si tratta, in realtà di una installazione di Mario Mertz del 1997, il cui titolo è “Fibonacci Sequence 1-55” e il sottotitolo “Metafora della ricerca dell’uomo di ordine e armonia nel caos”.

Musica e Matematica (03)

Su YouTube si trovano anche altri video di questo tipo, che permettono di seguire una partitura di ascolto insieme alla musica.

Eccone una di Metastaseis (Metastasis), un brano per orchestra composto nel 1954 da Xenakis, in cui gli eventi sonori erano definiti quasi completamente su base statistica.

In effetti, il processo compositivo di Xenakis è strettamente collegato alla matematica. Per risolvere problemi quali la distribuzione dei suoni e delle figure, la densità, la durata, le note stesse, Xenakis utilizza molto spesso distribuzioni statistiche, il calcolo combinatorio, ma anche le leggi fisiche e la logica simbolica.
Il suo approccio è conseguente alla sua critica al serialismo integrale espressa nel suo scritto “La crise de la musique serielle”, che si può sintetizzare come segue:
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Matematica e musica (02)

Tanto per fare un confronto al volo, ecco il procedimento di cui al post precedente con la serie di partenza basata su π, φ ed e.
Le altezze sono comprese fra C3 e C5 mentre le durate vanno fra semicroma e minima.

Matematica e musica (01)

La trasposizione diretta della matematica in musica, di solito produce dei risultati abbastanza banali. C’è però qualche eccezione. Una è questa.

  1. Si calcolano le prime n (poniamo 100) cifre di un numero trascendente, uno di quei numeri non riducibili a frazione che hanno infinite cifre dopo la virgola, come π (pi-greco), φ (phi, la sezione aurea) o e (la base dei logaritmi naturali).
    In questo caso, usiamo la sezione aurea φ (phi). Il risultato è
    1.61803398874989484820458683436563811772030917980576
    286213544862270526046281890244970720720418939113748
  2. Si prendono le cifre così come sono, senza badare al punto decimale, cioè
    1,6,1,8,0,3,3,9,8,8,7,4,9,8,9,4,8,4,8,2,0,4,5,8,6,8,3,4,3,6,5, … etc.
    Questa sarà la nostra base per produrre altezze e durate. L’idea è che la generazione delle cifre decimali in questi numeri non è del tutto casuale. Infatti le cifre non hanno la stessa distribuzione, ma soprattutto la serie è ricca di ripetizioni, configurazioni ripetute, etc.
  3. Per ottenere le altezze, trasformiamo le nostre cifre in note con una codifica. Poniamo 1 = LA basso del piano e saliamo per semitoni. Quindi il DO più basso sarà 4 e poi, per ottave, gli altri DO saranno 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88.
  4. Ora, riscaliamo l’intera serie, che va da 0 a 9, in modo che il minimo (0) corrisponda a 40 (C3) e il massimo (9) a 64 (C5). Otteniamo seguente serie di note:
    42,56,42,61,40,48,48,64,61,61,58,50,64,61,64,50,61,50,61,45,40, … etc
    In generale, risulta che

    • 0 = 40 = C3
    • 1 = 42 = D3
    • 2 = 45 = F3
    • 3 = 48 = G#3
    • 4 = 50 = A#3
    • 5 = 53 = C#4
    • 6 = 56 = E4
    • 7 = 58 = F#4
    • 8 = 61 = A4
    • 9 = 64 = C5

    Naturalmente avremmo potuto usare anche un altro intervallo, più o meno ampio di 2 ottave ottenendo risultati diversi.

  5. Ora piazziamo le durate. Decidiamo che
    • 0 = semicroma
    • 1 = croma
    • 2 = semiminima
    • 3 = minima

    e riscaliamo la serie numerica come sopra, ma restringendola fra 0 e 3 senza decimali. Ne consegue che

    • 0, 1, 2 = 0 = semicroma
    • 3, 4, 5 = 1 = croma
    • 6, 7, 8 = 2 = semiminima
    • 9 = 3 = minima

    ottenendo la serie seguente: 0,2,0,2,0,1,1,3,2,2,2,1,3,2,3,1,2,1,2, … etc.
    In questo esempio usiamo sempre durate canoniche (non irregolari) per non avere difficoltà di scrittura. Niente però impedisce di usare anche durate irregolari, affrontando qualche problema di scrittura. P.es, usando anche la durata di una croma terzinata, potreste trovarvi una successione come: semiminima – croma terzinata – semiminima e voglio vedere come lo scrivete. Oddio, in tanti brani contemporanei si fa anche di peggio, ma in questo esempio stiamo sul semplice.

  6. Bene. A questo punto abbiamo una serie di altezze e una di durate di pari lunghezza. Decidiamo un metronomo e suoniamo. Ecco il risultato finale. Simpatico, nervosetto, un po’ alla Xenakis anche se meno complesso.

Al lettore attento non sarà sfuggita una particolarità. Usando la stessa serie di partenza per altezze e durate, la durata aumenta via via che le altezze si alzano. Per evitarlo, basta retrogradare una delle due serie risultanti. In questo esempio abbiamo retrogradato le durate.

Cambiando l’estensione, poi i risultati sono diversi. Qui le altezze sono riscalate fra 4 e 64 usando buona parte dell’estensione del piano e rendendolo praticamente insuonabile da un umano a questa velocità.
Ecco infine una sovrapposizione di quest’ultimo frammento (1-64) e del precedente (40-64 con durate in retrogrado)

Potete trovare tutto questo e fare i vostri esperimenti nel sito Musical Algorithms. Grazie a Joyello per la segnalazione.

NB: qualcuno si sarà chiesto perché non ho usato il codice MIDI per le altezze. Anche per me sarebbe stata la scelta più ovvia, ma il sito di cui sopra usa quello che vi ho mostrato e inoltre genera dei MIDIFile errati.

π-Day

pi greco
Spero che abbiate un font greco altrimenti non vedrete mai tutto il titolo.
Il 14 marzo era il π-Day (Pi greco day). Questo perché gli anglosassoni scrivono prima il mese, poi il giorno e quindi esce 3.14.
Generalmente si celebra alle 1.59 p.m. perché π fa 3.14159.
Incidentalmente era anche il compleanno di Albert Einstein.
È un po’ buffo taggare questo post con Scienza, comunque… in questa pagina trovate pi-greco con 4 milioni di decimali.

732

732 = 17 + 26 + 35 + 44 + 53 + 62 + 71
Un grande sito per i geek della matematica.

La matematica è bella

math
Per tutti quelli che non credono che la matematica possa essere bella.
Il piano iperbolico a uncinetto. Lo trovate qui.